袋中有編號從 1 到 2016 號的球，每次取一球，取後放回，每顆球被取到的機率均等。令第 n 次取球的號碼為 an，則 a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+a₁a₂a₃a₄+...+a₁a₂a₃...a₁₀ 為偶數的機率為______。

 解：設 P_n 為 a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+a₁a₂a₃a₄+...+a₁a₂a₃...an  為奇數的機率， 

         P₁ = a₁ 為奇數的機率 = 1/2 ，

         P_n = a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+a₁a₂a₃a₄+...+a₁a₂a₃...an 為奇數的機率

              = a₁(1+a₂+a₂a₃+a₁a₂a₃a₄+...+a₂a₃...an) 為奇數的機率

              = a₁ 為奇數的機率 × (1+a₂+a₂a₃+a₂a₃a₄+...+a₂a₃...an) 為奇數的機率

              = 1/2 × (1+a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+...+a₁a₂a₃...an-1) 為奇數的機率

              = 1/2 × (1-P_n-1)  = 1/2 × (1- 1/2× (1-P_n-2)) = 1/2-(1/2)²(1-P_n-2) =  1/2 - (1/2)² + (1/2)² P_n-2

              = 1/2 - (1/2)² + (1/2)³ × (1-P_n-3)  = 1/2 - (1/2)² + (1/2)³ - (1/2)³P_n-3 

            = 1/2 - (1/2)² + (1/2)³  +...+ (-1)^n-2(1/2)^n-1+(-1)^n-1(1/2)^n-1P₁ 

        P₁₀ = 1/2 - (1/2)² + (1/2)³  +...+ (-1)⁸(1/2)⁹+(-1)⁹(1/2)⁹(1/2)

             = (1/2) × (1-(-1/2)⁹)/(1-(-1/2)) = (1/2) × (513/512) × (2/3) = 171/512 

        所求= 1 - 171/512 = 341/512