設 x 為實數且√(x^2 -4x+13) + √(x^2 + 6x+ 25) 有最小值，則此時 x = ______。

 解：原式 = √x^2 -4x+4+9 + √x^2 + 6x + 9 +16  =  √(x-2)^2 + 3^2 + √(x+3)^2 + 4^2 

         原式指在座標平面上點 ( x , 0 ) 到 ( 2 , 3 ) 距離加上到 ( -3 , 4 ) 的距離有最小值

         意即 x 軸上點至 ( 2 , 3 ) 及 ( -3 , 4 ) 的距離和為最小 

         由於兩點均位於 x 軸上方，取 ( -3 , 4 )  鏡射點 ( -3 , -4 ) 跟 ( 2 , 3 )  連成直線與 x 軸交點即可

        (0+4)/(x+3) = (3+4)/(2+3) => 7(x+3) = 20 => 7x = -1 => x=-1/7

如圖，圓O1、O2的半徑分別為 5 與 3 ，PT1 與 PT2為二圓之切線，且O1O2 = 12，PT1 = PT2、試求 9‧ PT12 的最小值。

2022.07.14 如圖，圓O₁、O₂的半徑分別為 5 與 3 ，PT₁ 與 PT₂為二圓之切線，且O₁O₂ = 12，PT₁ = PT₂、試求 9‧ PT₁² 的最小值。