已知 a = 110⁵ - 67⁵ - 43⁵，b = 110³ - 67³ - 43³，請選出正確的選項。

 2023.01.27 已知 a = 110⁵ - 67⁵ - 43⁵，b = 110³ - 67³ - 43³，請選出正確的選項。

    (1) a 與 b 除以 23 的餘數相同。

    (2) a 的正因數中，最大的質因數比 500 還大。

    (3) a 是一個 10 位數。

    (4) a 能 b 被整除。

    (5) 50a > b²。

解：設 x = 67，y = 43 =>  x + y = 110

    ( x + y )³ - x³ - y³ = 3x²y + 3xy² = 3xy( x + y )

    ( x + y )⁵ - x⁵ - y⁵ = 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ = 5xy( x³ + 2x²y + 2xy² + y³)

                                = 5xy( x + y )( x² + xy + y²)

    (1) 若 a ≡ b <=> a - b ≡ 0 (同餘 23)

        a - b =   xy( x + y )(5x² + 5xy + 5y² - 3)

        先考慮 5x² + 5xy + 5y² - 3 = 5[ ( x + y )² - xy ] - 3 其中 x + y ≡ 18 ，( x + y )²  ≡ 2，xy ≡ 6 

                    ≡ 5(2-6) - 3 = -23 ≡ 0，所以  a - b ≡ 0 ，正確。

    (2) a = 5 × 67 × 43 × 110 × [ ( x + y )² - xy ] = 5 × 67 × 43 × 110 × 9219

            = 5 × 67 × 43 × 110 × 3 × 7 ×  439  ，最大為 439 不正確。

    (3) 承 (2)  a = 5 × 67 × 43 × 110 × 9219 > 5 × 2000 × 1000000 = 10000000000 

        a 至少 11 位數，不正確。

    (4) 由 (2) a = 5 × 67 × 43 × 110 × 3 × 7 ×  439，而 b = 3× 67 × 43 × 110，正確。

    (5) 設 50a > b² => 250xy( x + y )( x² + xy + y²) > [3xy( x + y )]²

                                250 × 9219 > 9 × 67 × 43 × 110 = 990 × 2881 = 288.1 × 9900  

                                不正確。

    答：(1)(4)